또리's 전기이론 15. Laplace 변환/ 전기와 자기

1. Laplace 변환

1) 정의

F(S)=L[f(t)]=∫(0~∞)f(t)*e^-stdt

 

2) 중요함수의 라플라스 변환

- 단위계단 함수 U(t)

u(t)=1인 함수

F(S)=L[u(t)]=∫(0~∞)1*e^-stdt=-1/s*e^-st=1/s

 

- 지수감쇠 함수 e^-at

F(S)=L[e^-at]=∫(0~∞)e^-at*e^-stdt

=∫(0~∞)e^-(s+a)tdt

=-1/(s+a)*e^-(s+a)t=1/(s+a)

 

- 정현함수 sinwt {sinwt=(1/2j)*(e^jwt-e^-jwt)}

F(S)=L[sinwt]=∫(0~∞)sinwt*e^-stdt=∫(0~∞)(1/2j)*(e^jwt-e^-jwt)*e^-stdt

=1/2j∫(0~∞)(e^-(s-jw)t-e^-(s+jw)t)dt

=1/2j{1/(s-jw)-1/(s+jw)}=w/(s^2+w^2)

 

- 여현함수 coswt {coswt=(1/2)*(e^jwt+e^-jwt)}

F(S)=L[coswt]=∫(0~∞)coswt*e^-stdt=∫(0~∞)(1/2)*(e^jwt+e^-jwt)*e^-stdt

=1/2∫(0~∞)(e^-(s-jw)t+e^-(s+jw)t)dt

=1/2{1/(s-jw)+1/(s+jw)}=s/(s^2+w^2)

 

※ 라플라스 변환표

f(t)	함수명	F(S)	f(t)	함수명	F(S)
δ(t)	단위 임펄스 함수	1	sinwt	정현파 함수	w/(s^2+w^2)
u(t)	단위 계단 함수	1/s	coswt	여현파 함수	s/(s^2+w^2)
t	단위 램프 함수	1/s^2	sinhwt	쌍곡 정현파 함수	w/(s^2-w^2)
t^n	n차 램프 함수	n!/s^(n+1)	coshwt	쌍곡 여현파 함수	s/(s^2-w^2)
e^-at	지수 감쇠 함수	1/(s+a)

 

3) 여러가지 정리

- 초기값 정리

lim(t→0)f(t)=lim(s→∞)sF(s)

 

- 최종값 정리

lim(t→∞)f(t)=lim(s→0)sF(s)

 

- 복소추이 정리

L[e^-atF(t)]=F(s+a)

 

- 시간추이 정리

L[f(t-a)]=F(s)e^-as

 

-실미분 정리

L[f'(t)]=sF(s)-f(0)

L[f''(t)]=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)

 

2. 전기와 자기

1) 전기와 물질

- 물질의 구조

ㄱ. 원자 구조 : 모든 물질은 매우 작은 분자 또는 원자의 집합으로 되어 있으며 이들 원자는 원자핵과 그 주위를 둘러싸고 있는 전자들로 구성되어 있습니다.

원자핵은 양전기를 가진 양성자와 전기를 가지지 않는 중성자가 강한 핵력으로 결합되어 있습니다.

 

ㄴ. 정상상태에서 원자를 이루는 양성자의 수와 전자의 수가 같으며, 양성자 1개의 전기량과 전자 1개의 전기량의 절대값은 같습니다. 즉, e=1.60219*10^-19 [C]

 

ㄷ. 전자의 질량 m=9.1055*10^-31 [kg]

양성자의 질량 mp=1.67261*10^-27 [kg]

 

ㄹ. 원자 전체에서는 양자수와 전자수가 같으므로 전기적으로 중성상태입니다.

 

ㅁ. 자유전자 : 원자핵 주위를 돌고 있는 많은 전자들 중에서 가장 바깥쪽 궤도의 전자들은 핵과의 구속력(결합력)이 약하므로 비교적 작은 힘에 의해 구속을 벗어나 금속 내를 자유로이 이동하는 성질이 있는데, 이 전자를 자유전자라고 합니다.

 

- 에너지 준위

ㄱ. 고립된 원자 구조에서 각 궤도전자는 불연속적인 에너지 준위를 가집니다. 이떄 원자핵으로부터 전자의 위치가 멀어질수록 에너지 준위는 더 높아지고, 원자의 구속을 벗어난 자유전자는 원자 구조 내의 어떤 전자보다 높은 에너지 상태에 있게 됩니다.

 

ㄴ. 물질의 원자들이 결정 격자 구조를 형성하기 위해 가까이 밀집하게 될수록 원자들 간에는 강한 상호작용이 발생하게 되고 인접 원자의 동일한 궤도의 전자들과는 파울리의 배타율 원리에 따라 특정한 궤도에 약간씩 다른 에너지 준위를 가지고 여러 전자가 있는 상태, 즉 에너지대를 형성합니다.

가전자대 : 최외각 전자들의 에너지대

전도대 : 자유전자들의 에너지대

금지대 : 에너지대 사이의 영역으로서 전자의 존재를 허용하지 않는 범위

허용대 : 전자가 존재할 수 있는 범위

 

ㄷ. 에너지대에서 금지대의 폭이 넓은 물체를 절연체, 금지대가 없고 전도대와 가전대가 중첩되어 있는 도체. 금지대가 있지만 폭이 작아서 전자의 이동이 일어나기 쉬운것을 반도체라고 합니다.

 

ㄹ. 가전자대의 전자가 금지대의 에너지간격 Eg보다 큰 에너지를 얻으면 전자는 전도대로 이동합니다.

전자 e [C]가 전압 V [V]의 전위차를 가진 두 점 사이를 이동할 때 에저니 W는 다음과 같습니다.

W=eV [J]

1eV=1.602*10^-19 [J]

 

2) 전하와 전류

- 전하

ㄱ. 물질의 마찰 등에 의하여 대전된 전기를 전하라고 하고, 전하가 가지고 있는 전기의 양을 전기량이라 하며, 단위로는 쿨롱 [C]을 사용합니다.

전자 1개가 가지는 전기량=-1.602*10^-19 [C]

 

ㄴ. 전류 : 어떤 도체의 단면을 1초 동안에 통과하는 전하량으로 나타내며, 만일 t초 동안에 Q [C]의 전하가 이동했다면 이떄의 전류의 크기 I [A]는 다음과 같습니다.

I=Q/t [A]

 

- 단위계와 10진 표시

전기분야에 사용되는 단위계는 MKS 단위계로서 모든 단위의 기본이 되는 길이, 질량, 시간을 각각 미터, 킬로그램, 초 단위로 측정되며, 국제 표준 단위계라고도 부릅니다. 여기에 온도와 전류인 캘빈온도와 암페어를 각각 추가하여 전기량의 단위를 표현합니다.

 

물리량	기호	단위	단위의 약자
길이	l	미터	m
질량	m	킬로그램	k
시간	t	초	s
온도	T	캘빈온도	K
전류	I	암페어	A

 

실제로 전기분야에서 다루는 수의 범위는 매우 크고 다양하므로 특별한 십진표현이 필요합니다.

수	약자	일기
10^12	T	테라
10^9	G	기가
10^6	M	메가
10^3	k	킬로
10^-3	m	밀리
10^-6	μ	마이크로
10^-9	n	나노
10^-12	p	피코