또리's 전기이론 14. 과도현상

1. RC 직렬회로의 과도현상

1) 과도현상의 의미

어떤 전기회로의 스위치를 닫았을 경우, I=V/R 또는 I=V/Z로 표시되는 일정한 값이 되기까지는 매우 복잡한 변화를 합니다.

전류가 일정한 값에 도달한 상태를 정상상태라고 하며, 이때의 값을 정상값이라고 합니다.

그리고 다시 정상상태에서 다른 상태로 변하는 동안에 일어나는 현상을 과도현상이라 하며, 변화하는 기간을 과도기간이라 하고, 그때의 상태를 과도상태, 그때의 시시각각의 변화량을 과도값이라고 합니다.

- RC 회로의 전류 특성

전원을 RC회로에 투입하였을 때 처음 전류 i는 (V=100 [V], R=1000 [kΩ])

i=V/R=100 [V]/1000 [kΩ]=1 [mA]

가 흐르다가 점차 감소해서 결국 0이 됩니다. 이때 전류의 최초값 1 [mA]가 초기값이고, 마지막의 0 [mA]가 최종값이라고 합니다.

 

- 전압특성

전압 Vc의 초기값은 0 [V]이고, 최종값(정상값)은 100 [V] 입니다.

 

- C의 변화에 따른 전압, 전류의 변화

C의 값을 변화시킬 때 C의 값을 작게 하면 전압 및 전류는 모두 짧은 시간에 정상상태에 도달합니다.

 

- 시상수

C에 충전되는 전류를 i라고 할때 충전전류의 초기값을 나타내는 점에서 전류곡선에 접선을 그어 시간추고가의 교점을 취할 때 원점으로부터 이 교점까지의 시간을 T [sec]라고 하면, 이것은 C와 R을 곱한값과 같습니다.

T=RC [sec]

여기서, T는 과도전류의 변화속도를 나타내는 상수로서 시상수 또는 시정수라고 합니다.

 

2) 충전전류의 과도특성

전압방정식 Ri+1/C∫idt=V가 되며, 라플라스 변환을 하여 i를 구하면 과도 충전전류 i는 다음 식으로 표시됩니다.

i=(V/R)*e^-(t/RC)=Ie^(t/T)

I : 충전전류의 초기값, I=V/R [A]

e : 자연대수의 밑, e=2.718

T : 회로의 시상수, T=RC

i : 임의의 시간 t[s] 후의 과도전류의 값

 

따라서, 스위치를 닫았을 때 T=RC [sec] 후의 충전전류의 값은

i=Ie^-(t/T)=Ie^-1=0.638I [A]

 

이므로, 초기 전류 I=V/R [A]의 36.8 %가 됩니다. 그리고 저항 R 및 C의 양단의 전압은 다음과 같습니다.

ㄱ. i=V/R*e^-(t/RC) [A]

ㄴ. VR=iR=Ve^(t/RC) [V]

ㄷ. Vc=V-VR=V-Ve^(t/RC=V(1-e^(t/RC)) [V]

 

3) 방전전류의 과도특성

전압 방정식 Ri+1/C∫idt=0이 되며 라플라스 변환을 하여 i를 구하면

RC회로에서 스위치를 닫아 전원을 인가하였을 때

충전전류 i=(V/R)e^-(t/RC)

 

이므로, 다음에 전원을 제거하면 C에 충전된 전하가 충전과는 반대로 방전하므로 식은 다음과 같습니다.

ㄱ. i=-V/R*e^-(t/RC) [A]

ㄴ. VR=Ri=-Ve^-(t/RC) [V]

 

2.RL 직렬회로의 과도현상

1) 과도현상

RL 직렬회로에 전원을 인가하는 SW를 닫았을 경우, L에는 렌츠의 법칙에 따라 전류의 증가를 방해하는 자체 유도 기전력 VL=-Ldi/dt가 생겨서 인덕턴스 L이 클수록 정산전류 I=V/R [V]에 도달하는 시간이 길어집니다.

- 직류전압 인가시

전압방정식 Ri(t)+Ldi(t)/dt=V에서 라플라스 변환을 이용하여 i(t)를 구하면 다음과 같습니다.

ㄱ. 전류 i(t)=V/R(1-e^-RT/L) [A]

ㄴ. 시정수 T : t=0에서 과도전류에 접선을 그려서 정상전류와 만날 때가지의 시간을 의미합니다.

T=L/R [sec]

T가 클수록 과도현상을 오랫동안 지속되어 천천히 사라집니다.

ㄷ. 시정수에서의 전류값 i(T)

i(T)=V/R(1-e^-1)=0.632V/R [A]

ㄹ. R, L의 단자전압

VR=Ri(t)=R*V/R(1-e^-RT/L)=V(1-e^-RT/L)) [V]

VL=Ldi(t)/dt=Ld/dt*{V/R*(1-e^-RT/L)}=Ve^-RT/L [V]

 

- 직류전압 제거시

전압방정식 Ri(t)+Ldi(t)/dt=0에서 라플라스 변환을 이용하여 i(t)를 구하면 다음과 같습니다.

ㄱ. 전류 i(t)

i(t)=V/Re^-RT/L [A]

ㄴ. 시정수에서의 전류값 i(T)

i(T)=0.368V/R

 

3.RLC 직렬회로의 과도현상

1) 단일에너지 회로 (RL, RC)

회로에 에너지를 저장하는 소자를 각각 하나씩 가지고 있는 회로를 단일에너지 회로라고 합니다.

ㄱ. 저항 R에서 소비되는 에너지

WR=I^2*RT [J]

ㄴ. 인덕턴스 L에 축적되는 에너지

WL=1/2*LI^2 [J]

ㄷ. 정전용량 C에 축적되는 에너지

Wc=1/2*CV^2 [J]

 

2) 복합에너지 회로 (RLC, LC)

에너지를 저장하는 소자가 2개 이상 있으면, 이들 사이에 에너지의 교환이 존재하므로 과도현상은 단일에너지 회로의 경우보다 복잡합니다. 이러한 회로를 복합에너지 회로라고 합니다.

 

3) L-C 직렬회로

전압방정식 Ldi(t)/dt+1/C∫idt=V이며 라플라스 변환을 하여 다음과 같은 식을 유추할 수 있습니다.

ㄱ. 전류 i(t)=(V/√(L/C))*sin(1/√(LC))t [A]

ㄴ. 전하 q(t)=CV{1-cos(1/√(LC))t} [C]

ㄷ. 시정수 T=√(LC) [sec]

 

4) RLC 직렬회로의 특성

R만의 경우 : 전류 IR은 일정

R-L 회로의 경우 : IRL은 충전 후 일정

R-C 회로의 경우 : IRC는 방전 후 0

RLC(R^2>4L/C)경우 : I는 충전 후 방전

RLC(R^2<4L/C)경우 : I는 진동하며 0으로 수렴

 

전압 방정식 Ri(t)+Ldi(t)/dt+1/C∫idt=E을 라플라스 변환하면 다음과 같습니다.

I(S)=E/(LS^2+RS+1/C)

특정방정식은 분모가 0인 방정식에서 S의 근을 구해보면 LS^2+RS+1/C=0이므로

S=(-R±√(R^2-4L/C))/2L=-R/2L±√{(R/2L)^2-1/LC)}

ㄱ. R^2-4L/C>0 {((R/2L)^2-1/LC)>0} : 비진동상태

ㄴ. R^2-4L/C<0 {((R/2L)^2-1/LC)<0} : 진동상태

ㄷ. R^2-4L/C=0 {((R/2L)^2-1/LC)=0} : 임계상태