또리's 전기이론 13. 비정현파 교류

1. 비정현파 교류

1) 비정현 주기파

2개 또는 그 이상의 서로 다른 주파수의 사인파를 합하면 비정현파가 생깁니다.

특히 어떤 주파수의 f1(t)과 그의 정수배인 주파수를 가지는 사인파 fi(t) (i=1,2,3,··· 등을 합하면, f1(t)와 주기가 같은 비정현파가 얻어집니다.

이때 f1(t)를 기본파, 그리고 fi(t)를 고조파라고 부릅니다.

 

기본파와 제2고조파 및 기본파와 제3고조파를 합해서 얻어진 비정현 주기파의 경우, 주파수를 갖는 비정현 주기파는 이와 동일한 주파수를 가지는 기본파와 그 정수배의 주파수를 가지는 고조파의 합으로 나타낼 수 있습니다.

그러므로 여러 가지 진폭, 위상관계를 가지는 많은 고조파를 합성하면 다양한 파형의 비정혀주기파를 얻을 수 있습니다.

 

2) 비선형 회로의 전압과 전류

철심, 전자관, 반도체 등에서와 같이 출력이 그의 입력에 비례하지 않는 회로를 비선형 회로라 하고, 입출력이 비례하는 회로를 선형회로라 합니다.

비선형 회로의 입력에 정현파 교류전압 V1을 가하면 일그러짐이 생긴 비정현파 교류전류 i가 흐릅니다.

비선형 회로에서 생기는 일그러짐은 출력측에 입력 신호의 고조파가 발생함으로써 생깁니다.

이와 같은 일그러짐을 고조파 일그러짐 또는 비직선 일그러짐이라고 합니다.

 

3) 비정현파 교류의 성분

- 비정현파

비정현파는 여러 주파수의 정현파의 합성이므로 이것을 또한 여러 주파수의 정현파로 분해할 수 있습니다.

V=A0+A1coswt+A2cos2wt+A3cos3wt+ ··· +Ancosnwt

+B1sinwt+B2sin2wt+B3sin3wt ··· +Bnsinnwt

=A0+∑(n=1~∞)Ancosnwt+∑(n=1~∞)Bnsinnwt

비정현파=(직류분)+(기본파)+(고조파)

 

위와 같이 비정현파 교류를 급수로 나타낸 것을 푸리에 분석이라고 합니다.

ㄱ. 제1항 V0는 직류분이며 상하 대칭분에는 존재하지 않습니다.

ㄴ. 제2항은 기본파로서 가장 낮은 주파수 성분입니다.

ㄷ. 제3항은 제2고조파로서 기본파의 2배의 주파수 성분입니다.

ㄹ. 제4항은 제3고조파로서 기본파의 3배의 주파수 성분입니다.

또 주파수의 배수를 차수라고 하며, 차수가 홀수인 고조파를 홀수 고조파, 차수가 짝수인 고조파를 짝수 고조파라고 합니다.

기본파와 여러 고조파의 합을 나타내어 높은 차수의 고조파까지 계산하면 그 합은 직사각형파에 가깝게 됩니다.

 

- 여러 가지 파형의 비정현파

ㄱ. 반파대칭

f(t)=-f(π+t)=-f(T/2+t)

sin항과 cos항만 존재 (홀수항만 존재)

 

ㄴ. 정현대칭

f(t)=-f(-t)=-f(2π-t)

sin항만 존재

 

ㄷ. 여현대칭

f(t)=f(-t)=f(2π-t)

직류성분, cos항만 존재

 

비정현파는 직류분과 기본파와 고조파로 구성되어 있으므로, 그 고조파의 진폭과 위상이 주파수에 따라 어떻게 변화하는지를 그림으로 나타내면 파형을 이해하기가 편리합니다. 이러한 것을 진폭 스펙트럼, 위상 스펙트럼이라 하며 이를 주파수 스펙트럼이라고 합니다.

 

파형률=실효값/평균값

파고율=최댓값/실효값

+와-의 파형이 같은 모양을 하고 있으면 1주기의 평균값은 0이므로 이때는 + 반주기 동안의 평균값을 그 파형의 평균값으로 정합니다.

 

파형	최댓값	실효값	평균값	파형률	파고율
구형파	1	1	1	1	1
정현파	1	1/√2	2/π	1.11	1.414
전파정류파	1	1/√2	2/π		1.11	1.414
삼각파	1	1/√3	1/2	1.155	1.732
톱니파	1	1/√3	1/2	1.155	1.732

 

4) 비정현파 교류회로의 전압과 전류

- 비정현파 교류의 실효값

비정현파 교류의 실효값은 직류성분 및 각 고조파의 실효값의 제곱의 합이 평균과 같습니다.

ㄱ. 전압 V(t)=V0+Vm1sin(wt+θ1)+Vm2sin(2wt+θ2)+Vm3sin(3wt+θ3) ··· + Vmnsin(nwt+θn)

V=√{V0^2+(Vm1/√2)^2+(Vm2/√2)^2+ ··· + (Vmn/√2)^2}

=√(V0^2+V1^2+V2^2+ ··· +Vn^2)

 

ㄴ. 전류 i(t)=I0+Im1sin(wt+θ1)+Im2sin(2wt+θ2)+Im3sin(3wt+θ3)+ ··· + Imnsin(nwt+θn)

I=√{I0^2+(Im1/√2)^2+(Im2/√2)^2+ ··· +(Imn/√2)^2}

=√(I0^2+I1^2+I2^2+ ··· +In^2)

 

비정현파에서 기본파에 대해 고조파 성분이 어느 정도 포함되어 있는가 하는 것을 왜율이라고 합니다.

왜율=전 고조파의 실효치/기본파의 실효치=√(I2^2+I3^2+ ··· +In^2)/I1

 

- 비정현파

V=√2V1sin(wt+θ1)+√2V2sin(2wt+θ2)+√2V3sin(3wt+θ3)+ ···

ㄱ. R-L 회로의 임피던스

Z1=√{R^2+(wL)^2}

Z2=√{R^2+(2wL)^2}

Z3=√{R^2+(3wL)^2}

Zn=√{R^2+(nwL)^2}

이라고 할 때,

I1=기본파 전압의 실효값/기본파에 대한 임피던스=V1/√{R^2+(wL)^2}

I2=제2고조파 전압의 실효값/제2고조파에 대한 임피던스=V2/√{R^2+(2wL)^2}

I3=제3고조파 전압의 실효값/제3고조파에 대한 임피던스=V3/√{R^2+(3wL)^2}

으로 되며, I=√(I1^2+I2^2+ ··· +In^2)

 

ㄴ. R-C 회로의 임피던스

Z1=R-j*(1/wC)=√{R^2+(1/wC)^2}

Z2=R-j*(1/2wC)=√{R^2+(1/2wC)^2}

Zn=R-j*(1/nwC)=√{R^2+(1/nwC)^2}

 

ㄷ. R-L-C 회로의 제n고조파 공진회로

Zn=R+j(nwL-1/nwC)

공진조건 : nwL=1/nwC

공진주파수 : fn=1/(2πn√LC) [Hz]

 

5) 비정현파 교류회로의 전력

V=V0+√2V1sinwt+√2V2sin2wt+√2Vnsinnwt ···

I=I0+√2I1sin(wt-θ1)+√2I2sin(2wt-θ2)+√2Insin(nwt-θn)

ㄱ. 유효전력 P= V0I0+V1I1cosθ1+V2I2cosθ2+···+VnIncos θn [W]

ㄴ. 무효전력 Pr=VII1sinθ1+V2I2sinθ2+ ··· +VnInsinθn [Var]

ㄷ. 피상전력 Pa=VI=√(V0^2+V1^2+V2^2+ ··· +Vn^2)*√(I0^2+I1^2+I2^2+··· +In^2) [VA]

ㄹ. 역률 cosθ=P/VI * 100

=(V0I0+V1I1cosθ1+V2I2cosθ2+ ··· VnIncosθn)/√(V0^2+V1^2+V2^2+ ··· Vn^2)*√(I0^2+I1^2+I2^2+ ··· In^2)*100