또리's 전기이론 10. 3상 교류3

1. 3상 교류

3) 평형 3상 회로

- V결선

△결선의 전원 중에서 1상을 제거하여 결선한 것을 V결선이라고 합니다.

 

Va=V∠0 [V]

Vb=V∠(-2π/3) [V]

Vca=-(Va+Vb) [V]

 

선간전압 Vab, Vbc, Vca는 대칭 3상 전압이 되므로 3상 교류전원으로 사용할 수 있습니다.

따라서 Y결선된 전원에 부하를 접속하면 △결선된 전원과 동일하게 다룰 수 있습니다.

단지 △결선된 전원과는 달리 전원의 상전류가 바로 선전류가 되어 부하에 흘러 들어갑니다.

 

V결선인 전원으로부터 부하에 전달되는 전력

Pv=√3VIcosθ=√3VpIpcosθ [W]

 

△결선인 전원에서 부하에 전달되는 전력

P=√3VIcosθ=3VpIpcosθ [W]

 

따라서 Pv/P=√3/3=1/√3=0.577

 

V결선의 전원으로부터 부하에 전달되는 전력은 △결선인 경우의 57.7 %입니다. 또한 V결선된 전원의 두 상을 각각 단상으로 사용하면 부하에 전달될 수 있는 전력이 P=2VpIpcosθ [W], 두 상을 V결선해서 부하에 전력을 공급하면 Pv=√3VpIpcosθ [W]이므로 이용률은 다음과 같습니다.

 

Pv/P=√3VpIpcosθ/2VpIpcosθ=√3/2=0.866

 

즉, 이용률은 86.6% 입니다.

 

- 대칭 n상 교류회로

ㄱ.△결선회로 V=VpI=2sin(π/n)Ip∠-(π/2)*(1-2/n)

 

ㄴ. Y결선회로 V=2sin(π/n)Vp∠(π/2)*(1-2/n)

I=Ip

 

ㄷ. 전력

P=n/2sin(π/n)VIcosθ [W]

 

4) 3상 전력

- 3상 전력

Pa=VaIacosθa [W]

Pb=VbIbcosθb [W]

Pc=VcIccosθc [W]

P=Pa+Pb+Pc

 

회로가 평형 3상 회로이면 각 상의 전력이 동일하므로 어느 1상의 전력을 P1 [W]라고 하면,

P=3P1 [W]

 

또한 회로가 3상 평형회로이면 Vab=Vbc=Vca=V Va=Vb=Vc=Vp Ia=Ib=Ic=I=Ip

 

Pa=3VpIp=√3VI=3I^2*Z [VA]

Pr=3VpIpsinθ=√3VpIpsinθ=3Ip^2*X [Var]

P=3VpIpcosθ=√3VIcosθ=3Ip^2*R [W]

 

- 3상 전력의 측정

ㄱ. 3전력계법 : 3대의 단상 전력계를 사용하는 방법

각 전력계 Wa, Wb, Wc의 지시값을 Pa, Pb, Pc라 하면, 3상 전력 P는 다음과 같습니다.

 

P=Pa+Pb+Pc [W]

 

ㄴ. 2전력계법 : 단상 전력계 2대를 접속하여 W1, W2의 지시값을 P1, P2라고 하면 3상 전력 P는 다음과 같습니다.

 

 

P=P1+P2 [W]

 

P1=(Va-Vb)*(ia의 평균)

P2=(Vb-Vc)*(ic의 평균)

P1+P2= {(Vaia-Vbia-Vbic+Vcic의 평균}

= {Vaia+Vcic-Vbia-Vbic의 평균}

ia+ib+ic=0 이므로 ib=-ia-ic

P1+P2=Pa+Pb+Pc=P [W]

 

평형 3상 회로인 경우에는 벡터그림을 이용해서 구할 수 있습니다.

 

W1, W2가 지시하는 전력은 Vab와 Ia사이 및 -Vbc와 Ic사이의 전력이며, 다음과 같은 식으로 표시할 수 있습니다.

Vab=Vbc=Vca=Vi

P1=Vab×Ia×cos(π/6+θ)

=ViIccos(π/6+θ) [W]

P2=-Vbc×Ic×cos(π/6-θ)

=VIcos(π/6-θ) [W]

 

따라서 전력 P는 다음과 같습니다.

P=P1+P2=VI{cos(π/6+θ)+cos(π/6-θ)}=√3VIcosθ [W]

 

ㄱ. 유효전력 P=P1+P2=√3VIcosθ [W]

ㄴ. 무효전력 Pr=√3(P1-P2)=√3VIsinθ [Var]

ㄷ. 피상전력 Pa=√(P^2+Pr^2)=2√(P1^2+P2^2-P1*P2) [VA]

ㄹ. 역률 cosθ=P/Pa=(P1+P2)/2√(P1^2+P2^2-P1*P2)

 

※ 참고 : θ의 변화에 대한 cos(π/6+θ)와 cos(π/6-θ)의 변화

θ	-π/2	-π/3	-π/6	0	π/6	π/3	π/2
cos(π/6+θ)	0.5	0.866	1.0	0.866	0.5	0	-0.5
cos(π/6-θ)	-0.5	0	0.5	0.866	1.0	0.866	0.5
비고	앞선 역률			역률 100%	뒤진 역률

 

여기서 W1, W2의 지시값 P1, P2는 부하역률에 따라 다음과 같이 변합니다.

역률 100%일 때, P1=P2

뒤진 역률이 되면, P2>P1

앞선 역률이 되면, P1>P2

θ=±π/3이면, P1=0 또는 P2=0

θ>π/3이면, P1 또는 P2는 음의 값이 됩니다.

 

5) 회전자기장

- 3상 교류에 의한 회전자기장

권수, 선의 굵기 및 크기가 같은 3개의 코일 a, b, c를 2π/3 [rad] 간격으로 배치하여 이것에 대칭 3상 교류를 가합니다.

ia=ImsinwtIb=Imsin(wt-2π/3)

Ic=Imsin(wt-4π/3)

 

여기서 ia, ib, ic는 시간에 따라 크기와 방향이 변하므로 그에 의해 자장이 형성됩니다.

 

각 코일의 중심에 생기는 자장의 세기는 전류에 비례하므로 자장의 세기를 ha, hb, hc라 하면,

ha=kImsinwt=Hmsinwt [AT/m]

hb=kImsin(wt-2π/3)=Hmsin(wt-2π/3) [AT/m]

hc=kImsin(wt-4π/3)=Hmsin(wt-4π/3) [AT/m]

 

여기서 Hm은 1개의 코일에 생기는 자장의 최댓값이며 전류의 크기와 코일의 모양에 따라 결정됩니다.

자장의 합성을 계산해보면 다음과 같습니다.

h=(3/2)*Hm [AT/m]

 

따라서 h는 시간에 관계없이 (3/2)*Hm 입니다.