또리's 전기이론 8. 교류전력 및 3상 교류

1. 교류 전력

1) 교류의 전력과 역률

- 콘덴서 부하의 전력

콘덴서 C의 부하에 인가된 전압이 v=√2*V*sinwt이면 전류는 전압보다 위상이 π/2 앞섭니다.

i=√2*I*sin(wt+π/2)=√2*I*coswt [A]

p=vi=2VI*sinwt*coswt=VI*sin2wt [W]

 

따라서 콘덴서 C에서의 평균전력도 인덕턴스와 마찬가지로 p=0이 됩니다.

 

- 일반 회로에서의 전력

저항 및 인덕턴스가 접속된 회로에서 전압 v와 전류 i는 각각

v=√2*V*sinwt [V], I=√2*I*sin(wt-θ) [A]

p=vi=√2*V*sinwt*√2*I*sin(wt-θ)

=2VI*sinwt*sin(wt-θ)

VI{cosθ-cos(2wt-θ)

 

순시전력 p의 1주기 동안의 평균값, 즉 평균전력 P는

P=VIcosθ [W]

 

- 역률

교류회로의 전력은 평균전력 P=VIcosθ [W]로 나타내는데 이것은 RL 회로나 RC 회로와 같이 리액턴스 성분이 있으면 전압 v와 전류 i 사이에는 위상차 θ가 생겨, 저항 R만의 회로의 전력에 cosθ를 곱한 크기의 전력이 소비된다는 의미입니다.

여기서 cosθ는 전원에서 공급된 전력이 부하에서 유효하게 이용되는 비율이라는 의미에서 역률이라고 부르며, 이때의 θ를 역률각이라고 합니다.

예를 들어, 저항 성분이 R [Ω]이고, 리액턱스 성분이 X [Ω]인 직렬회로에서의 역률은

cosθ=R/Z=R/√(R^2+X^2)

 

- R-X 직병렬 회로의 전력

ㄱ. 직렬회로의 전력

유효전력 P

I=V/Z=V/√(R^2+X^2)

P=I^2*R={V/√(R^2+X^2)}^2*R={V^2/(R^2+X^2)}*R [W]

무효전력 Pr

Pr=I^2*X={V/√(R^2+X^2)}^2*X={V^2/(R^2+X^2)}*X [Var]

 

ㄴ. 병렬회로의 전력

유효전력 P=V^2/R [W]

무효전력 Pr=V^2/X [Var]

 

2) 교류전력

- 피상전력, 유효전력, 무효전력, 복소전력

어떤 전하의 단자전압과 전류 사이에 θ의 위상차를 가질 때 전압과 동상인 Icosθ의 전류와 90˚의 위상차를 갖는 Isinθ의 전류로 나누어 생각할 수 있습니다.

이때 Icosθ를 유효전류, Isinθ를 무효전류라 하며 VIcosθ를 유효전력, VIsinθ를 무효전력이라고 합니다.

유효전력(평균전력) P=VIcosθ [W]

무효전력 Pr=VIsinθ [Var]

 

또한 역률을 고려하지 않고 단자전압과 전류의 실효값을 곱한 것을 피상전력이라고 합니다.

피상전력 P=VI [VA]

 

전압과 전류가 복소수 형태로 주어질 때 보통 전압의 공액복소수와 전류의 곱으로 나타냅니다.

복소전력 S=VˇI=P±jPr

 

- 역률과 무효율

피상전력 중에서 유효전력으로 사용되는 비율을 또한 역률이라 하며 다음과 같이 표시할 수 있습니다.

역률=유효전력P/피상전력Pa=VIcosθ=P/√(P^2+Pr^2)

 

유효전력 P [W], 무효전력 Pr [Var], 피상전력 Pa [VA] 사이에는 다음 관계식이 성립합니다.

P^2+Pr^2=Pa^2

Pa=√(P^2+Pr^2)

 

※ 역률 개선

일정한 유효전력을 부하에 공급하면서 피상전력을 줄이기 위해서는 무효전력을 줄여야 합니다.

무효전력을 줄이기 위해서는 역률을 높여야 하는데 역률을 1에 가깝게 높이는 것을 역률개선이라고 합니다.

대부분의 부하는 부하전류의 위상이 전압보다 뒤지는 유도성 부하이므로 전류의 위상이 앞서는 용량성 부하인 콘덴서를 부하에 병렬로 첨가하여 역률을 개선합니다. (보통 90% 정도 되게 개선)

Qc=P(tanθ1-tanθ2)

 

- 3전류계법, 3전압계법

ㄱ. 3전류계법

P=(R/2)*(A3^2-A2^2-A1^2) [W]

 

ㄴ. 3전압계법

P=(1/2R)*(V1^2-V2^2-V3^2) [W]

 

- 최대 전력 전달 (Zg-ZL 직렬회로)

Zg=R일 때, ZL=Zg=R이면 최대공급전력 Pmax=V^2/4R [W]

Zg=R+jX일 때, ZL=Zgˇ=R-jX이면 최대공급전력 Pmax=V^2/4R [W]

2. 3상 교류

1) 3상 교류의 발생

- 3상 교류의 발생

코일 A, B, C를 공간적으로 2π/3 [rad]의 간격을 두고 배치하여, 자장 내에서 반시계 방향으로 회전시키면 3개의 정현파 전압이 발생합니다.

이와 같이 주파수가 동일하고, 위상이 2π/3 [rad]씩 차이가 나며, 발생하는 기전력의 크기가 같은 3개의 파형을 3상 교류라고 합니다.

3상 교류를 구성하는 각각의 단상 교류를 상이라 하고, 위상이 빠른 순서대로 보통 a상, b상, c상이라고 부릅니다.

 

- 3상 교류의 순시값 표시

각 코일의 전압 실효값을 V [V], 각속도를 w [rad/s]라고 하고, va를 기준으로 하며 A, B, C 각상의 전압(순시값)을 다음과 같이 표시할 수 있습니다.

va=√2*Vsinwt [V]

vb=√2*Vsin(wt-2π/3) [V]

va=√2*Vsin(wt-4π/3) [V]

 

크기가 같고 각각 2π/3 [rad]의 위상차를 가지는 3상의 교류전압 또는 전류를 대칭 3상 교류라고 합니다.

 

- 3상 교류의 벡터 표시

3상 교류의 각 상의 전압은 정현파형을 가지며, 주파수가 서로 같으므로 같은 크기를 가지고, 2π/3의 위상차를 갖는 벡터로 표시할 수 있습니다.

각 상의 전압의 벡터합은 다음과 같습니다.

Va+Vb+Vc=Va+a^2*Va+a*Va=Va*(1+a^2+a)=0

 

대칭 3상 교류전압의 벡터합은 0입니다.