또리's 전기이론 5. 교류전류에 대한 RLC의 동작

1. 교류전류에 대한 RLC의 동작

1) 저항의 동작

- 저항만의 회로

교류전압은 시간에 따라 크기와 방향이 변하지만 직류회로와 마찬가지로 옴의 법칙이 성립합니다.

i=v/r [A], v=iR [V]

전압 v=Vm*sinwt [V]

전류 i=v/R=Vm/R*sinwt=Im*sinwt [A]

 

- 전압과 전류의 관계

저항 R만의 회로에서 전압과 전류는 파형과 주파수가 동일하며, 위상도 또한 동상입니다.

즉, 저항은 파형, 주파수 및 위상을 변화시키는 성질이 없습니다.

 

2) 인덕턴스의 동작

- 코일만의 회로

인덕턴스 L을 갖는 코일에 정현파의 전류가 흐를 때 전류의 방향으로 생기는 전압강하를 v라고 할 때,

i=Im*sinwt [A]

v=L*di/dt=L*d(Im*sinwt)/dt

=wL*Im*coswt

=Vm*coswt

=Vm*sin(wt+π/2)

 

- 전압과 전류의 관계

저항과는 달리 코일에는 크기뿐만 아니라 교류의 위상까지도 바꾸는 성질이 있습니다.

회로에 가해진 전압 v는 전류 i보다 π/2 [rad]만큼 위상이 앞섭니다.

L만의 회로에서 전압의 크기 V와 전류의 크기 I 사이의 관계식은 다음과 같습니다.V=wLI [V] 또는 I=V/wL [A]

여기서 wL은 유도리액터스라 하며 단위는 [Ω]을 사용하고, 기호는 XL을 사용합니다.

XL=wL=2πfL [Ω]

 

- 유도리액터스의 주파수 특성

코일의 유도리액턴스 XL=wL이므로, 회로에 가해진 전압이 일정하다면, f가 높을수록, 그리고 L이 클수록 XL이 커집니다.

 

3) 정전용량의 동작

- 콘덴서만의 회로

정전용량 C를 가지는 콘덴서에 정현파 교류전류가 흐를 때 전류의 방향으로의 전압강하를 v라고 할 때,

i=Im*sinwt [A]

v=1/C*∫idt=1/C*∫Im*sinwtdt=-1/wC*Imcoswt

=-1/wC*Imsin(wt+π/2)=1/wC*Imsin(wt-90˚) [V]

Xc=1/wC=1/2πfC [Ω]

 

- 전류와 전압과의 관계

콘덴서에 흐르는 전류 i는 전압 V보다 위상이 π/2 [rad]만큼 앞섭니다.I=V/Xc=wCV [V]Xc=1/wC [Ω] 여기서 1/wC을 용량성 리액턴스라 하고, 기호는 Xc를 사용합니다.

 

- 용량성 리액턴스의 주파수 특성

용량성 리액턴스 Xc는 주파수에 반비례하는 특성을 가집니다. 즉, 주파수가 높을수록 Xc는 작아집니다.

소자	방정식	V/I	위상관계
R	i=Im*sinwt v=Vm*sinwt	R [Ω]	i와 v는 동상
L	i=Im*sinwt v=Vmsin(wt+90˚)	wL [Ω]	i는 v보다 90˚ 늦음
C	i=Im*sinwt v=Vmsin(wt-90˚)	1/wC [Ω]	i는 v보다 90˚ 빠름

 

2. RLC의 직병렬 회로

1) RL 직렬회로

- RL 직렬회로의 임피던스

RL 직렬회로의 합성 임피던스 Z [Ω]는 다음과 같습니다.

Z = √{(저항성분)^2+(유도리액턴스의 성분)^2}

=√{R^2+(wL)^2}

=√{R^2+XL^2}

=√{R^2+(2πfL)^2} [Ω]

 

- 전압과 전류의 관계

전류는 I, 저항 R과 인덕턴스 L의 양단의 전압을 각각 VR, VL이라 할 때,

VR=RI [V] (VR과 I는 동상)

VL=XL*I=wLI [V] (VL은 I보다 위상이 π/2 [rad]만큼 앞섭니다.

V=VR+VL

크기 V=√{(RI)^2+(wLI)^2}=√{(VR)^2+(VL)^2}

I=V/Z=V/√{(RI)^2+(wLI)^2}

tanθ=VL/VR=XL*I/RI=XL/R=wL/R

θ=tan^-1(XL/R)=tan^-1(wL/R) [rad]

전압v는 전류 I보다 θ만큼 앞섭니다.

 

- 역률, 무효율

역률 : cosθ=R/Z=R/√{R^2+(wL)^2}

무효율 : sinθ=X/Z=X/√{R^2+(wL)^2}

 

2) RC 직렬회로

- RC 직렬회로의 임피던스

RC 직렬회로의 함성 임피던스 Z [Ω]는 다음과 같습니다.

Z = √{(저항성분)^2+(용량리액턴스의 성분)^2}

=√{R^2+(1/wC)^2}

=√{R^2+Xc^2}

=√{R^2+(1/2πfC)^2} [Ω]

 

- 전류와 전압과의 관계

회로에 V [V]의 정현파 전압을 가할 때 회로에 흐르는 전류를 I [A]라고 하고, 저항 R과 정전용량 C에 걸리는 전압을 각각 VR,Vc라 하면 다음과 같은 관계가 성립합니다.

VR=IR (VR은 I와 동상)

Vc=Xc*I=1/wC*I (Vc는 I보다 위상이 π/2 [rad]만큼 뒤집니다.

V=VR+Vc

크기 V=√{(VR)^2+(Vc)^2}

tanθ=Vc/VR=Xc*I/RI=Xc/R=1/wCR=1/2πfCR

θ=tan^-1(Xc/R)=tan^-1(1/wCR) [rad]

전압v는 전류 I보다 θ만큼 뒤집니다.

 

- 역률, 무효율

역률 : cosθ=R/Z=R/√{R^2+(1/wC)^2}

무효율 : sinθ=X/Z=(1/wC)/√{R^2+(1/wc)^2}

 

2) RLC 직렬회로

정현파 전압 V [V]를 가할 때, 회로에 흐르는 전류를 I [A]라 하고, R, L, C에 걸리는 전압을 각각 VR, VL, Vc라고 하면,

V=VR+VL+Vc [V]

이들의 크기와 전류 I의 위상관계는 다음과 같습니다.

VR=RI (VR은 I와 동상)

VL=XL*I=wLI (VL은 전류 I보다 π/2 앞선 위상)

Vc=Xc*I=I/wC (Vc는 전류 I보다 π/2 뒤진 위상)

 

V=√{(VR)^2+(VL-Vc)^2}

=I√{(R)^2+(wL-1/wC)^2}

I=V/√{(R)^2+(wL-1/wC)^2}

합성임피던스 Z=√{(R)^2+(wL-1/wC)^2}

tanθ=(VL-Vc)/VR=(XL-Xc)/R=(wL-1/wC)/R=

θ=tan^-1(XL-Xc)/R=tan^-1(wL-1/wC)/R [rad]

 

- 임피던스의 유도성과 용량성

임피던스의 리액턴스 성분은 유도리액턴스 XL=wL와 용량리액턴스 Xc=1/wC의 차로 나타납니다. XL>Xc이면 유도성 임피던스

XL<Xc이면 용량성 임피던스

XL=Xc이면 저항만의 회로가 되며, 직렬 공진회로가 됩니다.

 

RLC 직렬회로에서는 XL과 XC 크기에 따라 전류의 위상과 전압의 위상이 비교됩니다.

XL>Xc이면 전압의 위상이 전류보다 앞섭니다.

XL<Xc이면 전류의 위상이 전압보다 앞섭니다.

XL=Xc이면 전류와 전압의 위상은 동상이 됩니다.