또리's 전기이론 4. 교류회로의 기초

1) 교류회로의 기초

- 정현파 교류

ㄱ. 교류

크기와 방향이 시간의 변화에 따라서 변하는 전류를 교류라고 합니다.

반면에, 시간의 변화에 따라 크기 및 방향의 변화가 없는 것을 직류라고 합니다.

전류 또는 전압이 시간에 따라 어떻게 변하는가를 나타내는 곡선을 파형이라고 합니다.

정현파형이 가장 기본적인 파형이며, 이외에도 구형파, 삼각파, 톱니파 등의 비정현파가 있습니다.

 

ㄴ. 정현파 교류의 발생

자장 중에 코일을 넣고, 코일을 회전시키면 이 코일에는 기전력이 유기됩니다.

이때 발생되는 전압 e [V]는 자장 내의 코일의 유효길이를 l [m], 코일의 반지름을 r [m], 자속밀도를 B [Wb/m^2], 자장에 직각인 자기 중심축과 코일면이 이루는 각을 θ, 코일의 운동속도를 v [m/s]라고 하면, 다음과 같이 구해집니다.

e=Blv*sin θ [V]

 

ㄷ. 주기와 주파수

정현파 교류는 일정한 시간간격을 두고 동일한 변화가 반복됩니다. 교류의 1회의 변화를 1사이클이라고 하며, 1사이클 변화하는 데 걸리는 시간을 주기, T [s]라고 합니다.

또한 정현파형에서 수평축을 시간 t [s] 대신에, 각도 θ [rad]로 나타내면, 1사이클에 소요되는 각도는 2 π [rad]이므로 주기 T [s]와 각속도 w [rad/s] 사이의 관계는 다음과 같습니다.

T=2 π/w [s]

 

그리고 주파수 f는 1 [s] 동안에 반복되는 사이클의 수를 나타내며, 그 단위로는 헤르츠 [Hz]를 사용합니다.

주기와 주파수 사이에는 다음과 같은 관계가 성립됩니다.

T=1/f [s], f=1/T [Hz]

 

또한 주파수와 주기 및 각속도 사이에는 다음 식이 성립됩니다.

f=1/T=1/(2 π/w)=w/2 π

w=2 πf [rad/s]

 

여기서 w는 각주파수라고도 하며, 정현파 교류와 변화속도를 나타내는 중요한 파라메타입니다.

 

※ 호도법

호의 길이 l [m], 반지름 r [m]일 때, 중심각 θ=l/r [rad] 이 됩니다.

 

호의 길이는 πr이므로, 반원의 경우를 생각하면 중심각 θ는 180˚ 입니다.

θ=l/r= πr/r= π [rad]

즉, π [rad]= 180˚이고, 2 π [rad]= 360˚입니다.

 

또한, 각속도는 1초동안에 회전한 각속도이므로, t초 동안 θ [rad]만큼 회전하면,

θ/t [rad/s]. θ=wt [rad]

 

이 됩니다. 따라서 정현파 교류의 전압을 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있습니다.

v=Vm*sin θ=Vm*sinwt=Vm*sin(2 πft) [V]

 

ㄹ. 위상과 위상차

2개의 정현파 교류 v1, v2는 서로 동일한 주파수를 가지지만 v2는 v1보다 임의의 시간만큼 뒤진상태로 변화한다고 할 때, v1이 v2보다 위상이 앞선다고 하거나, 또는 반대로 v2가 v1보다 위상이 뒤진다고 말합니다.

또한, 2개의 교류사이에 전압의 크기에는 관계없이 시간적으로 차이가 없는 경우는 서로 동상이라고 합니다.

위상차는 2개의 교류신호 사이의 시간적인 차이이므로, 시간으로 표시할 수도 있지만, 보통 θ=wt [rad]의 관계식에 따라 각도로 표시합니다.

2개의 정현파 위상이 다를 경우,

v1=Vm*sinwt

=Vm*sin(wt-θ)

 

2개의 정현파 최대값이 다를 경우,

v1=Vm1*sinwt

v1=Vm2*sinwt

 

- 교류의 표시

ㄱ. 순시값

정현파 교류 v는 일반적으로 v=Vm*sinwt 로 표시합니다.

여기서 전압 v [V]는 매 순간마다 변하고 있음을 나타내는데 t(임의의 시각)를 대입하였을 때의 전압을 순시값이라고 하며, 일반적으로 소문자로 표시합니다.

전류의 경유 i=Im*sinwt 로 표시합니다.

 

ㄴ. 최댓값

교류의 순시값 중에서 가장 큰 값을 최댓값 또는 진폭이라하며, 전압의 최댓값은 Vm, 전류의 최댓값은 Im으로 표시합니다.

 

ㄷ. 실효값

실효값은 교류가 행한 일의 양에 따라 교류의 크기를 결정하는 방법으로서, 저항 R [Ω]에 전류 i [A]를 흘렸을 때 소비된 전력 i^2*R [W]과 같을 때, 즉 i^2*R= I^2*R일 때, 이 교류 i의 크기를 I [A]로 정하여 이 값을 교류의 실효값이라고 합니다.

I^2R=1/T*∫(0~T)i^2*Rdt, I=√(1/T*∫(0~T)i^2dt)

 

ㄹ. 평균값

교류 순시값의 1주기 동안의 평균을 취하여 이 값을 교류의 평균값이라고 합니다.

정현파의 경우는 +방향과 -방향의 크기가 대칭이므로 1주기의 평균이 0이 되면 정현파는 1/2 주기만의 평균을 취하여 정합니다.

Iav=1/T*∫(0~T)idt=1/(T/2)*∫(0~T/2)idt

 

※ 각 파형의 평균값, 실효값

	평균값	실효값		평균값	실효값
정현파	2/π	1/√2	구형반파	1/2	1/√2
전파	2/\π	1/√2	삼각파	1/2	1/√3
반파	1/π	1/2	톱니파	1/2	1/√3
구형파	1	1

정현파 v [V]의 평균값을 Va [V]라고 할 때,

Va=2/π*Vm=0.637*Vm

 

- 정현파 교류의 벡터

ㄱ. 스칼라와 벡터

스칼라량 : 길이나 온도 등과 같이 크기만으로 표시되는 물리량

벡터량 : 힘과 속도와 같이 크기와 방향 등 2개 이상의 양으로 표시되는 물리량

 

ㄴ. 정현파 교류의 벡터표시

정현파 교류의 요소 : 정현파 교류의 중요한 요소로는 최댓값 Im(또는 실효값 I), 주파수 f(또는 각주파수 w), 위상각 θ 등이 있으며, 이들의 요소에 의해 정현파 교류의 기본적인 성질이 정해집니다.

i=Imsin(wt+θ)=√2*I*sin(2πft+θ) [A]

 

정현파 교류의 순시값과 벡터표시

순시값 표시 : i=Imsin(wt+θ)=√2*I*sin(wt+θ)

벡터 표시 : I=I∠ θ

 

ㄷ. 정현파 교류의 합성

벡터그림에 의한 방법 : 주파수가 동일한 정현파 교류의 합과 차는 정현파 교류를 벡터로 표시하여 쉽게 계산할 수 있습니다.

i1=Im1*sinwt, i2=Im2*sin(wt+θ)

이 2개의 정현파 교류가 있을 때, 그 합은 벡터합에 대한 평행사변형 법칙에 의하여 계산할 수 있습니다.

이때 벡터의 크기는 대부분 정현파 교류의 실효값으로 표시합니다.

 

1) 교류회로의 기호법 표시

- 복소수에 의한 벡터표시

ㄱ. 복소수 : 복소수는 실수와 허수로 이루어져 있으며, 허수는 제곱하면 음수가 되는 것으로 다음과 같이 표시합니다.

복소수 Z=a+jb, 복소수 Z의 절댓값은 √{(실수부)^2+(허수부)^2}=√(a^2+b^2)

 

ㄴ. 복소수에 의한 벡터표시

복소수 A=a+jb, 크기 A=√(a^2+b^2), θ=tan^-1(b/a) [rad]

 

ㄷ. 벡터의 극좌표 표시

a=Acosθ, b=Asinθ

벡터 A=a+jb=Acosθ+jAsinθ=A(cosθ+jsinθ)=A∠θ

 

- 복소수의 가감승제와 벡터의 관계

ㄱ. 복소수의 합과 벡터의 합 : 2개 이상의 복소수를 합할 때는, 실수부는 실수부끼리, 허수부는 허수부끼리 더합니다.

A1=a1+jb1, A2=a2+jb2

A1+A2=(a1+a2)+j(b1+b2)

 

ㄴ. 복소수의 곱셈 : 2개의 복소수 A1과 A2의 곱

A=A1*A2=(a1+jb1)(a2+jb2)=(a1a2-b1b2)+j(a1b2+a2b1)