또리's 전기이론 6. 직렬공진과 병렬공진

1) 직렬공진

-직렬 공진

ㄱ. 직렬공진의 조건

합성임피던스 Z=√{(R)^2+(wL-1/wC)^2}여기서, wL-1/wC=0 또는 wL=1/wC이면 두리액턴스 성분이 서로 상쇄되어 임피던스가 저항성분만으로 이루어지게 되어 최소가 됩니다. 즉, 이런 상태에서는 저항 R만으로 구성된 회로에 전압 V를 가한 것과 같고, 전류 I는

I=V/Z=V/R [A]

로 표시되며, I와 V는 동상입니다.

 

ㄴ. 공진주파수(f0)

공진 조건 wL-1/wC=0으로부터

w^2LC-1=0

w^2=1/LC

w=1/√lc 또는 2πf0=1/√lc

f0=1/2π√lc [Hz]

 

직렬공진회로에 교류전압을 가하여 그 전압의 크기를 일정하게 유지시켜 놓고 주파수를 변화시키면 회로에 흐르는 전류는 공진곡선을 이룹니다. 공진주파수 f0에서 임피던스가 최소(R [Ω])가 되고, f0에서 멀어질수록 임피던스가 커지기 때문에 f0에서 전류의 최대를 이루고 멀어질수록 전류가 줄어드는 곡선을 이룹니다.

ㄷ. 주파수 선택특성

각종 주파수의 교류전압을 포함하고 있는 교류전원을 직렬공진회로에 가하면 공진주파수의 근접한 주파수의 신호는 잘 모르지만 다른 주파수는 잘 흐르지 못합니다. 이러한 성질을 공진회로의 주파수 선택특성이라고 합니다.

ㄹ. 전압의 증대

직렬회로가 공진상태에 있을 때, 저항 양단의 전압 VR는

VR=RI=R*(V/R)=V [V]

L과 C 양단의 합성전압 Vx는 0이 되어 상쇄되지만 L, C 각각의 양단에는 다음의 전압이 나타납니다.

Vx=VL+Vc=0

VL=wLI=wL*(V/R)=wLV/R [V]

Vc=I/wC=V/wCR [V]

여기서 wL=1/wC이므로. 이 값이 R보다 크면 VL과 Vc는 인가전압 V보다 크게 됩니다. 이러한 현상은 교류에서 발생되는 특이한 현상입니다.

4) RLC 병렬회로

- RL 병렬회로

ㄱ. 전류

I=IR+IL 이므로 전류의 크기는 다음과 같습니다.

I=√(IR^2+IL^2)

=√{(V/R)^2+(V/wL)^2}

=V√{(1/R)^2+(1/wL)^2}=V*Y=V/Z [A]

 

ㄴ. 합성임피던스

Z=1/√{(1/R)^2+(1/wL)^2}=1/√{(1/R)^2+(1/XL)^2}

=R*XL/√{(R^2+XL^2} [Ω]

 

ㄷ. 위상각

tanθ= IL/IR=(V/wL)/(V/R)=R/wL=R/XL

θ=tan^-1(R/wL)=tan^-1(R/XL) [rad]

 

ㄹ. 역률 cosθ=G/Y=(1/R)/Y=XL/√{(R^2+XL^2}

 

- RC 병렬회로

ㄱ. 전류

I=√(IR^2+Ic^2)

=√{(V/R)^2+(V/(1/wC)^2}

=V√{(1/R)^2+(wC)^2}=V*Y=V/Z [A]

 

ㄴ. 합성임피던스

Z=1/√{(1/R)^2+(wC)^2}=1/√{(1/R)^2+(1/Xc)^2} [Ω]

 

ㄷ. 위상각

tanθ= Ic/IR=wCV/(V/R)=wCR

θ=tan^-1wCR [rad]

 

ㄹ. 역률

cosθ=G/Y=(1/R)/Y=Xc/√{(R^2+Xc^2}

 

- RLC 병렬회로

ㄱ. 전류

I=√(IR^2+Ix^2)

=√IR^2+(Ic-IL)^2}

=√{(V/R)^2+(wCV-V/wL)^2}

=V√{(1/R)^2+(wC-1/wL)^2}=V*Y

=V/{1/√{(1/R)^2+(wC-1/wL)^2}} [A]

 

ㄴ. 합성임피던스

Z=1/√{(1/R)^2+(wC-1/wL)^2} [Ω]

 

ㄷ. 위상각

tanθ= Ix/IR=(wCV-V/wL)/(V/R)=(wC-1/wL)R

θ=tan^-1(wC-1/wL)R=tan^-1(2πfC-1/2πfL)R [rad]

 

병렬회로에서도 직렬회로와마찬가지로 유도성 리액턴스 XL과 용량성 리액턴스 Xc의 크기에 따라 회로가 유도성이 되기도하고, 용량성이 되기도 합니다.

XL<Xc이면 유도성이 되어, I는 V보다 위상이 뒤집니다.

XL>Xc이면 용량성이 되어, I는 V보다 위상이 앞섭니다.

XL=Xc이면 무유도성이 되어, I와 V는 동위상이 됩니다.

 

- 병렬공진

RLC 직렬회로에 직렬공진이 일어나는데 병렬회로에도 마찬가지로 공진현상이 일어납니다.

 

ㄱ. 병렬공진

IL=V/(R+jwL)={R/(R^2+(wL)^2)-jwL/(R^2+(wL)^2)}*V [A]

Ic=jwCV [A]

I=IL+Ic={R/(R^2+(wL)^2)-j(wC-wL/(R^2+(wL)^2))}*V

=(G+jB)V [A]

 

ㄴ. 공진주파수

병렬공진의 경우에는 회로의 허수부가 0이 될 때입니다. 즉, 공진 시의 주파수 f0는 다음과 같습니다.

w0C-w0L/(R^2+(w0L)^2)=0

w0C=w0L/(R^2+(w0L)^2)

1/w0C=(R^2+(w0L)^2)/w0L=R^2/w0L+w0L

w0L=(1/W0)*(1/C-R^2/L)

w0^2=(1/L)*(1/C-R^2/L)

w0=√(1/LC-R^2/L^2)

f0=1/√(1/LC-R^2/L^2)

 

여기서, 1/LC>>R^2/L^2일 때

f0=1/(2π√LC) [Hz] (직렬공진회로와 동일)

 

ㄷ. 공진 임피던스

Z0=1/Y0=(R^2+(w0L)^2)/R [Ω]

 

실제 회로에서는 코일의 저항 R이 매우 작으므로 R^2<<(w0L)^2의 관계로부터 식을 간단하게 표현할 수 있습니다.

Z0=w0^2*L^2/R [Ω]

Z0=(1/LC)*L^2/R=L/RC [Ω]

Y0=CR/L [℧]

 

ㄹ. 전류의 증대

병렬공진 시 회로에 유입된 전체 전류

I0=V/Z0=V/(L/RC) [A]

 

R<<w0L, w0C=1/wL 일 때

IL=V/w0L [A], Ic=w0CV [A]

 

전체 전류 I0에 대한 IL, Ic의 비율

IL/I0=Ic/I0=w0L/R=1/wCR

 

즉, 병렬공진회로에서는 회로의 한 부분(L 또는 C)을 흐르는 전류가 전체 전류의 w0L/R 또는 1/w0CR배로 증대됩니다.