또리's 전기이론 9. 3상 교류2

1. 3상 교류

2) 기호법에 의한 대칭 3상 교류의 표시

- 기호법에 의한 표시

a상의 전압 Va를 기준으로 하면 다음식으로 표시할 수 있습니다.

 

Va=V∠0˚=V

Vb=V∠-2π/3=V{cos(2π/3)-jsin(2π/3)}=V(-1/2-j√3/2)=a^2*V

Vc=V∠-4π/3=V{cos(4π/3)-jsin(4π/3)}=V(-1/2+j√3/2)=a*V

 

연산자 a의 의미

a : 위상은 2π3 앞서게 하고, 크기는 -1/2+j√3/2 갖습니다.

a^2 : 위상은 2π/3 뒤지게 하고, 크기는 -1/2-j√3/2 갖습니다.

a^3 = 1∠360˚=1a^2+a=-1 or a^2+a+1=0

 

- 3상 교류의 결선법

ㄱ. Y결선(성형결선)

Va, Vb, Vc를 상전압이라고 하고, Vab, Vbc, Vca를 선간전압이라고 합니다. 상전압과 선간전압 사이에는 다음의 관계가 성립합니다.

 

Vab=Va-Vb Vbc=Vb-Vc Vca=Vc=Va

 

또한 상전압 Va를 기준으로 하여 선간전압을 표시하면 다음의 관계식과 같습니다.

 

Vab=2Va*cos(π/6)∠π/6=√3*Va∠π/6

Vbc=2Vb*cos(π/6)∠π/6=√3*Vb∠π/6

Vca=2Vc*cos(π/6)∠π/6=√3*Vc∠π/6

 

Y결선에는 상전류와 선전류는 같고, 선간전압은 상전압의 √3배의 크기를 가지며, 상전압보다 위상이π/6만큼 앞섭니다. 선간전압 Vl, 상전압 Vp라 할 때, Vl=√3*Vp∠30˚, Il=Ip

 

ㄴ. △결선(델타결선)

△결선의 회로에서는 상전압이 그대로 선간전압이 되므로. 상전압과 선간전압이 동일합니다.

 

Vab=Va, Vbc=Vb, Vca=Vc

 

즉, Vl=Vp의 크기관계가 성립합니다. 그리고, 상전류 Iab, Ibc, Ica와 선전류 Ia, Ib, Ic 사이에는 다음과 괕은 관계가 성립합니다.

Ia=Iab-Ica, Ib=Ibc-Iab, Ic=Ica-Ibc

 

상전류 Iab를 기준으로 하여 선전류를 표시하면 다음과 같습니다.

 

Ia=2Iabcos(π/6)∠-π/6=√3*Iab∠-π/6

Ib=2Ibc*cos(π/6)∠-π/6=√3*Ibc∠-π/6

Ic=2Ica*cos(π/6)∠-π/6=√3*Ica∠-π/6

 

△결선에서는 상전압과 선간전압이 같고, 선전류는 상전류의 √3배의 크기를 가지며, 상전류보다 위상이 π/6만큼 뒤집니다.

즉, Vl=Vp, Il=√3*∠-30˚ (Vl : 선전압, Vp : 상전압, Il : 선전류, Ip : 상전류)

 

3) 평형 3상 회로

- Y-Y 회로

전원과 부하의 접속이 모두 Y결선인 회로를 Y-Y 회로라고 합니다.

전원측과 부하측 각 중섬점 O, O'의 전위는 서로 같으므로 두 점을 접속하고 a상을 취하면 a상에 대한 등가회로를 구현 할 수 있습니다. (Va-Ia-Z)

 

Ia=Va/Z, Ib=Vb/Z, Ic=Vc/Z

Z=R+jX=√(R^2+X^2)∠tan^-1(X/R)=Z∠θ

 

따라서, 전류 Ia, Ib, Ic는 각 상의 전압 Va, Vb, Vc보다θ=tan^-1(X/R) [rad]만큼 위상이 뒤집니다.

 

Ia= Va/Z=V∠0/(Z∠θ)=V/Z∠-θ [A]

Ib= Vb/Z=V∠(-2π/3)/(Z∠θ)=V/Z∠(-2π/3-θ) [A]

Ic= Vc/Z=V∠(-4π/3)/(Z∠θ)=V/Z∠(-4π/3-θ) [A]

 

Y-Y 회로에서는 상전류 Ip가 그래도 선전류 Il이 되므로

Il=Ip [A]

 

- △-△ 회로

ㄱ. 전원의 상전류와 부하의 상전류

Iab=I'ab=Va/Z=V/(Z∠θ)=V/Z∠-θ [A]

Ibc=I'bc=Vb/Z=V∠(-2π/3)/(Z∠θ)=V/Z∠(-2π/3-θ) [A]

Ica=I'ca=Vc/Z=V(-4π/3)/(Z∠θ)=V/Z∠(-4π/3θ) [A]

 

ㄴ. 선전류

Ia=Iab-Ica=√3Iab∠(-π/6)=√3V/Z∠(-π/6-θ) [A]

Ib=Ibc-Iab=√3Ibc∠(-π/6)=√3V/Z∠(-π/6-2π/3-θ) [A]

Ia=Ica-Ibc=√3Ica∠(-π/6)=√3V/Z∠(-π/6-4π/3-θ) [A]

Il=√3Ip [A]

Vl=Vp [V]

 

- Y부하와 △부하의 변환

ㄱ. △결선에서 Y결선으로의 변환

Zab=Zab(Zbc+Zca)/(Zab+Zbc+Zca)

Zbc=Zbc(Zab+Zca)/(Zab+Zbc+Zca)

Zca=Zca(Zab+Zbc)/(Zab+Zbc+Zca)

 

Y결선에서

style="background-color: #ffffff; color: #000000;">Zab=Za+Zb

style="background-color: #ffffff; color: #000000;">Zbc=Zb+Zc

style="background-color: #ffffff; color: #000000;">Zca=Zc+Za

 

따라서 식을 정리하면,

Za=ZabZca/(Zab+Zbc+Zca)

Zb=ZbcZab/(Zab+Zbc+Zca)

Zc=ZcaZbc/(Zab+Zbc+Zca)

 

만약 Zab=Zbc=Zca인 경우 Zy=1/3*Z△

 

ㄴ. Y결선을 △결선으로 변환

 

Zab=(ZaZb+ZbZc+ZcZa)/ZcZbc=(ZaZb+ZbZc+ZcZa)/Za

Zca=(ZaZb+ZbZc+ZcZa)/Zb

 

만약 Za=Zb=Zc인 경우 Z△=3Zy