또리's 전기이론 23. 인덕턴스

1) 전자 유도 작용

- 패러데이의 전자 유도 법칙

코일을 지나는 자속이 변화하면 코일에 기전력이 생기는 현상을 전자유도라 하며, 이 기전력을 유도 기전력, 흐르는 전류를 유도 전류라고 합니다.

이러한 전자 유도 작용은 패러데이에 의해 발견되었으며 다음과 같은 법칙이 있습니다.

'전자 유도에 의해 회로에 유도되는 기전력은 이 회로와 쇄교하는 자속이 증가 또는 감소하는 정도에 비례합니다.'

 

- 렌츠의 법칙

유도 기전력이 발생되는 방향에 대하여는 렌츠에 의해서 밝혀친 법칙이 있습니다.

'전자 유도에 의하여 생긴 기전력의 방향은 그 유도 전류가 만든 자속이 항상 원래 자속의 증가 또는 감소를 방해하는 방향입니다.'

 

- 자속의 변화에 의 한 유도 기전력의 크기

유도 기전력의 크기는 패러데이의 전자 유도 법칙에 의해서, 코일이 지나는 자속의 매초 변화량과 코일의 권수에 비례합니다. 즉 코일은 권수 N, 자속이 △t초 동안에 △Φ [Wb]만큼 변화할 때의 유도기전력 e는 다음과 같습니다.

e=코일의 권수*매초 변화하는 자속

=-N*△Φ/△t [V]

 

- 플레밍의 오른손법칙

자장 안에 있는 도체가 운동하면서 자장의 자속을 끊으면 도체에 기전력이 유도됩니다. 또한, 기전력의 발생은 발전기의 원리입니다.

기전력 e=∫(v×B)l=vBlsinθ [N]

 

이와 같이 도체가 이동하여 자속을 끊었을 때의 기전력의 방향은 플레밍의 오른손법칙에 따릅니다.

 

- 도체의 운동에 의한 유도 기전력의 크기

사각형의 도체를 균일한 자속밀도 B의 공간에 설치하고, 그 위를 직선도체를 사용하여 자속과 직각방향으로 이동시키면 abcd를 1회의 코일로 볼 수 잇으므로 결국 코일 내부를 지나는 자속이 증가한 것과 같습니다.

도체의 운동속도 v [m/s], △t초 동안에 이동한 거리 aa'는 다음과 같습니다.

aa'=속도*시간=v△t

자속의 변화량 △Φ는 다음과 같습니다.

△Φ=(자속밀도 B)*(면적 abb'a')=Blu△T [Wb]

 

- 맴돌이 전류

도체의 단면을 자속 Φ가 지나갈 때 도체의 표면과 수직방향으로 회전하는 전류가 발생하며, 이 전류를 맴돌이 전류 또는 와전류라고 합니다.

맴돌이 전류 I [A]가 흐르면 철 등의 금속의 저항 R [Ω]에 의해 I^2R [W]의 줄열이 발생하여 철의 온도가 올라갑니다.

이는 전력의 손실이 되므로 맴돌이 전류손이라고 합니다.

 

- 표피효과

ㄱ. 도선의 내부로 들어갈수록 전류밀도가 작아지는 현상을 뜻하며 주파수, 도전율, 투자율이 클수록 침투깊이(두께)가 작아지며 반대로 표피효과는 커집니다.

ㄴ. 침투깊이(δ)

δ=√(2/wμσ) (μ : 투자율, σ : 도전율)

 

2) 자체 인덕턴스

- 자체 유도

어떤 코일에 흐르는 전류가 변화하면 코일과 쇄교하는 자속이 변화하므로 전자 유동 의해서 코일 자신에 이 자속의 변화를 방해하려는 방향으로 유도 기전력이 발생합니다.

이것을 자체 유도라 하고, 이 기전력을 자체 유도 기전력이라고 합니다.

 

- 자체 인덕턴스

전류의 변화가 크면 자속의 변화도 크게 되므로 코일에 발생되는 유도 기전력 e는 다음과 같습니다.

e∝전류의 변화/변화에 필요한 시간

따라서 비례상수 L이라 하면

e=-L*(△I/△t) [V]

 

여기서 L을 자체 인덕턴스라 하며, 코일의 권수와 형태 및 철심의 존재 여부에 의해 정해지는 상수입니다.

L의 단위 : [H] (헨리)

 

- 자체 인덕턴스의 계산

권수 N회의 코일에 쇄교하는 자속이 △t초 동안에 △Φ [Wb]만큼 변화할 때 유도 기전력 e는

e=-N*(△Φ/△t) [V]

N△Φ=L△I

NΦ=LI

L=NΦ/I [H]

L=NΦ/I=N^2/Rm=μSN^2/l

Φ=F/Rm=NI/Rm

 

3) 상호 인덕턴스

- 상호 유도

2개의 코일을 서로 근접시키면 한쪽 코일에 흐르는 전류에 의한 자속이 다른 쪽 코일과도 쇄교합니다.

이와 같이 한쪽 코일의 전류가 변화할 때 다른쪽 유도 기전력이 발생하는 현상을 상호 유도라 하고, 2개의 코일은 전자적으로 결합되어 있다고 합니다.

 

- 상호 인덕턴스

2차 코일에 쇄교하는 자속의 변화는 1차 코일의 전류의 크기 변화에 비례하므로 1차 코일의 전류가 △t초 사이에 △I1 [A]만큼 변화할 때 2차 코일과 쇄교하는 자속의 변화 △Φ [Wb]는 △Φ에 비례합니다.

따라서, 2차 코일에 발생하는 유도 기전력 e2 [V]는 전류의 변화율 △I1/△t에 비례하므로 비례상수를 M이라 하면,

e2=-M△I1/△t [V] (e1=-L△I2/△t)

 

M값은 상호 유도의 정도를 나타내는 상호 인덕턴스라고 합니다.

상호 인덕턴스의 단위도 헨리를 사용합니다. 한쪽 코일에 흐르는 전류가 1초 동안 1 [A]만큼 변화하여 다른쪽 코일에 발생하는 기전력이 1 [V]가 될 때, 상호 인덕턴스는 1 [A]입니다.

 

- 상호 인덕턴스의 계산

2차 코일에 쇄교하는 자속의 변화가 △t초 동안 △Φ [Wb]이면 권수 N2의 2차 코일에 발생하는 기전력 e2 [V]는

e2=-N△Φ/△t [V]

 

이때 자속의 변화 △Φ는 1차 코일의 전류 변화 △I1 [A] 에 의해 발생하는 것이며,

N2△Φ=M△I1

 

μ가 일정하고 전류 I1과 자속 Φ가 비례하는 경우에는

N2Φ=MI1

>M=N2Φ/I1 [H]

 

- 환상코일의 상호 인덕턴스

비투자율 μr인 환상철심에 동일한 형태로 1차, 2차 코일이 감겨 있을 때, 1차 코일에 I1 [A]의 전류가 흐르면 철심 중에는 다음과 같은 자속 Φ가 형성됩니다.

Φ=BA=μHA=μN1I1A/l

=μsμ0N1I1A/l=μs(4π*10^-7)N1I1A/l [Wb]

 

철심은 자속이 통과하기 쉬우므로, 위 자속이 전부 2차 코일을 지나게 되면 상호 인덕턴스 M은

M=N2Φ/I1=μAN1N2/l

=μs(4π*10^-7)AN1N2/l [H]

 

만일 환상코일이 공심으로 되어있고, 누설자속이 없다면 이때의 상호 인덕턴스 M은

M=(4π*10^-7)AN1N2/l [H]

 

- 자체 인덕턴스와 상호 인덕턴스의 관계

누설자속이 없는 환상코일에서 1차 코일의 전류가 만드는 자속 Φ1는 모두 2차 코일을 지납니다.

>L1=N1Φ1/I1, M=N2Φ1/I1 [H]

 

또한, 2차 코일의 전류가 만드는 자속 Φ2는 모두 1차 코일을 지나게 되므로,

>L2=N2Φ2/I2, M=N1Φ2/I2 [H]

 

M^2=N2Φ1/I1 * N1Φ2/I2=N1Φ1/I1*N2Φ2/I2=L1L2M=√L1L2

 

누설자속이 있는 경우에는 코일을 지나는 자속이 감소하므로

>M=k√L1L2

 

여기서 K는 1보다 작은 값을 가지며, 이것을 코일 간의 결합계수라고 합니다.

 

4) 인덕턴스의 접속

자체 인덕턴스가 각각 L1, L2인 2개의 코일이 직렬로 접속되어 있을 때, 서로 자속의 영향을 받지 않으면, 합성 임피던스 L=L1+L2

 

- 직렬 접속

ㄱ. 가동결합(가극성)

전류의 방향이 일치하며, 자속이 같은 방향으로 발생하여 더해지는 형태의 코일 접속을 의미합니다.

합성 인덕턴스(La)

La=L1+L2+2M [H]

 

ㄴ. 차동결합(감극성)

전류의 방향은 서로 반대방향이며 이떄 발생하는 자속의 방향도 반대방향이 되어 서로 감해지는 형태의 코일정속을 의미합니다.

합성 인덕턴스(Lb)

Lb=L1+L2-2M [H]

M=(1/4)*(La-Lb) [H]

 

- 병렬 접속

ㄱ. 가동결합

등가회로를 이용하여 합성 인덕턴스를 구하면

La=M+(L1-M)(L2-M)/{(L1-M)+(L2-M)}=(L1L2-M^2)/(L1+L2-2M) [H]

 

ㄴ, 차동결합

등가회로를 이용하여 합성 인덕턴스룰 구하면

 Lb=-M+(L1+M)(L2+M)/{(L1+M)+(L2+M)}=(L1L2-M^2)/(L1+L2+2M) [H]